黑板上数字的奇妙游戏
2024.01.05 16:11浏览量:8简介:在黑板上写下一串数字,通过一系列操作,能否最终得到特定的结果?本文将通过一个具体的例子,探讨这个问题的答案。
在数字的世界里,有一种有趣的游戏,让我们在一块黑板上进行。游戏的规则很简单:原本黑板上写着若干个数,你可以在每次操作中选取两个数x和y,然后在黑板上写下2x-y的结果,而被选取的数不会消失。我们的目标是,通过这样的操作,能否最终在黑板上得到一个特定的数k。
首先,我们可以通过一个简单的例子来理解这个游戏。假设黑板上原本写着3个数:1、2和3。如果我们首先选择1和2,得到4(21-2=0);然后选择4和3,得到5(24-3=5)。经过这两步操作,我们成功地在黑板上得到了数5。
然而,对于更复杂的情况,我们是否也能得到我们想要的答案呢?实际上,这个问题的答案取决于我们选取的两个数的相对大小。根据裴蜀定理,如果存在两个整数x和y,使得2x-y等于k,那么我们就可以通过选取这两个数,在黑板上得到k。反之,如果这样的整数对不存在,那么无论我们如何操作,都无法在黑板上得到k。
为了解决这个问题,我们可以使用一种叫做辗转相除法的方法。辗转相除法是一种求两个数的最大公约数的方法。通过不断地将较大的数除以较小的数,我们最终可以得到它们的最大公约数。如果我们能找到两个数x和y,使得k能够被它们的最大公约数整除,那么我们就可以通过选取这两个数,在黑板上得到k。
下面是一个使用C++实现的示例代码:
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 1e5 + 5;
ll a[maxn], g[maxn];
int main() {
int n;
cin >> n;
for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
g[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; i++) {
g[i] = gcd(g[i - 1], i);
}
ll ans = 0, tmp = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
if (ans == 0) {
ans = a[i];
tmp = i;
} else {
ans = gcd(ans, a[i]);
}
}
cout << ans << endl;
return 0;
}
这段代码首先读入黑板上原本的n个数,然后使用辗转相除法计算这些数的最大公约数。由于无论我们如何选择两个数进行操作,它们的最大公约数都会保持不变(这是裴蜀定理的推论),因此我们只需要找到一个数,使得它的最大公约数等于k的最大公约数即可。最后,我们输出这个数的值。
通过以上分析和代码实现,我们可以得出结论:如果存在一个数x,使得k能够被x整除,那么我们就可以通过一系列的操作在黑板上得到k;否则,无论我们如何操作,都无法在黑板上得到k。
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