牛顿法（Newton's Method）的原理及MATLAB实现

牛顿法是一种迭代算法，用于求解实数或复数域上的方程。其基本思想是利用泰勒级数展开式来逼近函数，并通过迭代的方式不断逼近方程的根。在每一步迭代中，牛顿法使用函数在某一点的切线作为新的近似曲线，然后在这个新的近似曲线上寻找新的根。
对于一般的非线性方程 f(x)=0，牛顿法的基本步骤如下：

1. 选取一个初始点 x0；
2. 计算 f(x0) 和 f’(x0)；
3. 使用以下公式更新 x 值：x1 = x0 - f(x0)/f’(x0)；
4. 如果 |x1 - x0| 小于预设的精度要求，则停止迭代，输出 x1 作为方程的根；否则，令 x0 = x1，重复步骤 2 和 3。
   下面是一个使用 MATLAB 实现牛顿法的示例代码：

   function root = newton_method(f, df, x0, tol, max_iter)
   % f: 函数f(x)
   % df: 函数f(x)的导数
   % x0: 初始点
   % tol: 精度要求
   % max_iter: 最大迭代次数
   for i = 1:max_iter
   fx = f(x0);
   dfx = df(x0);
   if abs(fx) < tol || isapprox(x0, 0, tol) % 当fx接近于0或x0接近于某整数时停止迭代
   root = x0;
   return;
   end
   x1 = x0 - fx/dfx; % 更新x值
   if abs(x1 - x0) < tol % 如果新旧x值之差小于精度要求，则停止迭代
   root = x1;
   return;
   end
   x0 = x1; % 否则，用新值替换旧值作为下一次迭代的初始值
   end
   error('达到最大迭代次数仍未找到根'); % 如果达到最大迭代次数仍未找到根，则报错
   end

   使用该函数时，需要提供函数f(x)、f’(x)、初始点、精度要求和最大迭代次数。例如，要解方程 x^3 - x - 1 = 0，可以使用以下代码：
   ```matlab
   f = @(x) x^3 - x - 1; % 定义函数f(x)
   df = @(x) 3*x^2 - 1; % 定义函数f(x)的导数
   root = newton_method(f, df, 1, 1e-6, 100); % 使用牛顿法求解方程，初始点为1，精度要求为1e-6，最大迭代次数为100
   disp(root); % 输出方程的根