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旋转卡壳解法揭秘：POJ-2187 Beauty Contest最远距离求解指南

作者：搬砖的石头2025.09.23 14:34浏览量：0

简介：本文深入解析POJ-2187 Beauty Contest问题的旋转卡壳解法，详细阐述算法原理、实现步骤及优化技巧，助力开发者高效求解平面点集最远点对问题。

旋转卡壳解法揭秘：POJ-2187 Beauty Contest最远距离求解指南

一、问题背景与算法选择

POJ-2187 Beauty Contest是经典计算几何问题，要求在平面点集中找出相距最远的两个点。对于n个点的集合，暴力枚举所有点对的距离复杂度为O(n²)，当n较大时（如n>1e5），这种解法显然不可行。旋转卡壳（Rotating Calipers）算法通过几何性质将复杂度降至O(n)，成为解决该问题的最优选择。

算法适用性分析

旋转卡壳算法的核心思想是利用凸包性质，通过维护两条”卡壳”直线在凸包上旋转，动态计算点对距离。该算法仅适用于凸多边形（或凸包），因此解题第一步需对输入点集构建凸包。对于非凸点集，必须先进行凸包化处理。

二、旋转卡壳算法详解

1. 凸包构建（Andrew算法）

构建凸包是旋转卡壳的前提。Andrew算法通过排序和单调栈操作，可在O(n log n)时间内完成凸包构建。具体步骤如下：

  1. struct Point {
  2.     int x, y;
  3.     bool operator<(const Point& p) const {
  4.         return x < p.x || (x == p.x && y < p.y);
  5.     }
  6. };
  8. vector<Point> convexHull(vector<Point>& points) {
  9.     int n = points.size();
  10.     if (n <= 1) return points;
  11.     sort(points.begin(), points.end());
  13.     vector<Point> hull;
  14.     for (int i = 0; i < n; ++i) {
  15.         while (hull.size() >= 2 && 
  16.                cross(hull[hull.size()-2], hull.back(), points[i]) <= 0)
  17.             hull.pop_back();
  18.         hull.push_back(points[i]);
  19.     }
  21.     int lower_hull_size = hull.size();
  22.     for (int i = n-2; i >= 0; --i) {
  23.         while (hull.size() > lower_hull_size && 
  24.                cross(hull[hull.size()-2], hull.back(), points[i]) <= 0)
  25.             hull.pop_back();
  26.         hull.push_back(points[i]);
  27.     }
  28.     hull.pop_back(); // 重复点
  29.     return hull;
  30. }

2. 旋转卡壳核心实现

构建凸包后，通过旋转卡壳算法寻找最远点对。算法步骤如下：

  1. 初始化两条卡壳线，分别指向凸包上的起始点
  2. 旋转卡壳线，每次旋转固定角度
  3. 在旋转过程中计算当前卡壳线对应的点对距离
  4. 维护最大距离及其对应点对

关键代码实现：

  1. int cross(const Point& o, const Point& a, const Point& b) {
  2.     return (a.x - o.x)*(b.y - o.y) - (a.y - o.y)*(b.x - o.x);
  3. }
  5. double rotatingCalipers(vector<Point>& hull) {
  6.     int n = hull.size();
  7.     if (n == 2) return dist(hull[0], hull[1]);
  9.     double max_dist = 0;
  10.     int j = 1;
  11.     for (int i = 0; i < n; ++i) {
  12.         Point next_i = hull[(i+1)%n];
  13.         while (abs(cross(hull[i], next_i, hull[j])) < 
  14.                abs(cross(hull[i], next_i, hull[(j+1)%n]))) {
  15.             j = (j+1)%n;
  16.         }
  17.         max_dist = max(max_dist, dist(hull[i], hull[j]));
  18.     }
  19.     return max_dist;
  20. }

3. 距离计算优化

点对距离计算需考虑整数溢出问题。建议使用64位整数或浮点数存储中间结果：

  1. double dist(const Point& a, const Point& b) {
  2.     int dx = a.x - b.x;
  3.     int dy = a.y - b.y;
  4.     return sqrt(dx*dx + dy*dy);
  5. }

三、算法优化与边界处理

1. 凸包点数优化

对于共线点，Andrew算法会保留所有点。可通过检查相邻三点共线性来精简凸包：

  1. bool collinear(const Point& a, const Point& b, const Point& c) {
  2.     return cross(a, b, c) == 0;
  3. }

2. 旋转卡壳终止条件

当凸包点数较少时（如n<3），可直接返回结果。对于n=3的三角形，最远点对必为两个顶点。

3. 精度控制

浮点数比较需设置误差范围。建议使用相对误差比较：

  1. const double EPS = 1e-9;
  2. bool eq(double a, double b) {
  3.     return fabs(a - b) < EPS;
  4. }

四、完整解决方案

综合上述分析，POJ-2187的完整解法如下：

  1. #include <vector>
  2. #include <algorithm>
  3. #include <cmath>
  4. using namespace std;
  6. struct Point {
  7.     int x, y;
  8.     bool operator<(const Point& p) const {
  9.         return x < p.x || (x == p.x && y < p.y);
  10.     }
  11. };
  13. int cross(const Point& o, const Point& a, const Point& b) {
  14.     return (a.x - o.x)*(b.y - o.y) - (a.y - o.y)*(b.x - o.x);
  15. }
  17. double dist(const Point& a, const Point& b) {
  18.     int dx = a.x - b.x;
  19.     int dy = a.y - b.y;
  20.     return sqrt(dx*dx + dy*dy);
  21. }
  23. vector<Point> convexHull(vector<Point>& points) {
  24.     int n = points.size();
  25.     if (n <= 1) return points;
  26.     sort(points.begin(), points.end());
  28.     vector<Point> hull;
  29.     for (int i = 0; i < n; ++i) {
  30.         while (hull.size() >= 2 && 
  31.                cross(hull[hull.size()-2], hull.back(), points[i]) <= 0)
  32.             hull.pop_back();
  33.         hull.push_back(points[i]);
  34.     }
  36.     int lower_hull_size = hull.size();
  37.     for (int i = n-2; i >= 0; --i) {
  38.         while (hull.size() > lower_hull_size && 
  39.                cross(hull[hull.size()-2], hull.back(), points[i]) <= 0)
  40.             hull.pop_back();
  41.         hull.push_back(points[i]);
  42.     }
  43.     hull.pop_back();
  44.     return hull;
  45. }
  47. double rotatingCalipers(vector<Point>& hull) {
  48.     int n = hull.size();
  49.     if (n == 2) return dist(hull[0], hull[1]);
  51.     double max_dist = 0;
  52.     int j = 1;
  53.     for (int i = 0; i < n; ++i) {
  54.         Point next_i = hull[(i+1)%n];
  55.         while (abs(cross(hull[i], next_i, hull[j])) < 
  56.                abs(cross(hull[i], next_i, hull[(j+1)%n]))) {
  57.             j = (j+1)%n;
  58.         }
  59.         max_dist = max(max_dist, dist(hull[i], hull[j]));
  60.     }
  61.     return max_dist;
  62. }
  64. int main() {
  65.     int n;
  66.     scanf("%d", &n);
  67.     vector<Point> points(n);
  68.     for (int i = 0; i < n; ++i) {
  69.         scanf("%d %d", &points[i].x, &points[i].y);
  70.     }
  72.     vector<Point> hull = convexHull(points);
  73.     double ans = rotatingCalipers(hull);
  74.     printf("%.0f\n", ans);
  75.     return 0;
  76. }

五、实践建议与常见错误

  1. 输入处理：确保正确读取坐标值，注意坐标范围可能超出int类型
  2. 凸包验证：调试时可输出凸包点集，验证凸包构建是否正确
  3. 距离比较：使用浮点数比较时，避免直接使用==运算符
  4. 性能优化：对于大规模数据，可预先计算并存储点间距离

旋转卡壳算法通过巧妙的几何性质，将最远点对问题的时间复杂度从O(n²)降至O(n)，是计算几何领域的经典算法。掌握该算法不仅有助于解决POJ-2187问题，更能为处理其他几何问题提供思路。建议开发者通过可视化工具理解算法执行过程，加深对旋转卡壳原理的理解。

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